Pembahasan Soal OSN-K Matematika SMA Tahun 2022 #Part 1

Pembahasan KSN Matematika 2022

Apa itu OSN?

Olimpiade Sains Naional (OSN) adalah kompetisi tahunan yang diselenggarakan oleh Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset dan Teknologi (Kemendikbudristek) Republik Indonesia.

Bagaimana mempersiapkan peserta?

Beberapa tips untuk mempersiapkan peserta siap mengikuti OSN:

1. Pastikan peserta memahami dengan baik konsep-konsep dasar matematika yang diujikan dalam OSN, seperti aljabar, geometri, trigonometri, dan kalkulus. Peserta perlu memiliki pemahaman yang kuat tentang konsep-konsep ini agar dapat menyelesaikan soal-soal dalam waktu yang singkat dan dengan akurasi yang tinggi.
2. Berikan peserta akses ke sumber daya belajar yang berkualitas, seperti buku teks dan referensi, situs web matematika, dan video tutorial. Juga, pastikan bahwa peserta memiliki akses ke peralatan matematika yang diperlukan, seperti kalkulator dan penggaris.
3. Berikan peserta banyak latihan dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang menantang. Pastikan mereka memahami setiap konsep dan dapat menerapkannya dalam situasi yang berbeda-beda.
4. Berikan peserta ujian praktik yang mirip dengan ujian OSN matematika. Ujian praktik akan membantu peserta mengasah kemampuan mereka dalam menyelesaikan soal-soal matematika dalam waktu yang singkat dan dalam situasi ujian yang sebenarnya.
5. Berikan peserta dukungan moral dan emosional. Persiapan OSN matematika dapat menjadi stres dan menantang. Jadi, pastikan untuk memberikan peserta motivasi, dorongan, dan dukungan yang mereka butuhkan untuk menjalani proses persiapan dengan percaya diri.
6. Terakhir, pastikan bahwa peserta memperhatikan kesehatan fisik dan mental mereka selama masa persiapan. Asupan makanan yang sehat, istirahat yang cukup, dan gaya hidup yang seimbang akan membantu peserta tetap sehat dan fokus dalam menjalani persiapan mereka.

Berikut kami bagikan pembahasan soal OSN-K Matematika SMA Tahun 2022 untuk bagian pertama (kemampuan dasar)

Soal dan pembahasan OSN-K Matematika SMA Tahun 2022

A. Kemampuan Dasar

Soal No. 1 (#OSN-K 2022)

@$f(x)={a}^2x+200@$. Jika @$f(20)+f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)@$, maka @$f(1)= ...@$?

Pembahasan:

@$y={a}^2x+200@$

@$y-200 = {a}^2x @$

@$x=\frac{y-200}{{a}^2}@$

Sehingga:

@$f^{-1}(x) = \frac{x-200}{{a}^2}@$

Karena:

@$f(20)+f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)@$

Maka:

@$20{a}^2+200+\frac{22-200}{{a}^2}=\frac{20-200}{{a}^2}+22{a}^2+200@$

@$\frac{2}{{a}^2} = 2{a}^2@$

@$1 =  {a}^4@$

@$a=1@$ atau @$a=-1@$

Akibatnya, @${a}^2 = 1@$

Sehingga didapat @$f(x)= x + 200@$

Jadi @$f(1)= 1 + 200 = 201 @$

Soal No. 2 (#OSN-K 2022)

Banyaknya bilangan bulat dari 1001 sampai dengan 2022 yang habis dibagi 15 atau 9 adalah ...

Pembahasan:

Bilangan bulat dari 1001 sampai dengan 2022 ada sebanyak:

2022 - 1001 + 1 = 1022

Bilangan yang habis dibagi 15 ada sebanyak:

@$n(A)=\frac{1022}{15}=68@$ (ambil yang bulat saja)

Bilangan yang habis dibagi 9 ada sebanyak:

@$n(B) =\frac{1022}{9}=113@$ (ambil yang bulat saja)

Bilangan yang habis dibagi 15 dan 9 ada sebanyak:

@$n(A\bigcap B) =\frac{1022}{45}=22@$ (dibagi dengan KPK (15, 9))

Sehingga didapat:

@$n(A\bigcup B) =n(A)+n(B)-n(A\bigcap B)=68+113-22@$

@$n(A\bigcup B) = 159@$

Jadi, banyaknya bilangan yang habis dibagi 15 atau 9 ada sebanyak 159.

Soal No. 3 (#OSN-K 2022)

Diberikan segitiga ABC siku-siku di B. Titik D berada di AB dan E pada AC sehingga DE sejajar BC. Jika AD = 21, BD = 3, dan BC = 32, panjang AE adalah ...

Pembahasan:

Coba perhatikan gambar berikut!

Berdasarkan teorema phytgoras diperoleh:

@$AC=\sqrt{24^2+32^2}@$

@$AC=\sqrt{576+1024}@$

@$AC= \sqrt{1600}@$

@$AC=40 @$

Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ADE, sehingga didapat:

@$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}@$

@$\frac{AE}{40}=\frac{21}{24} @$

@$AE=\frac{21}{24}.40@$

@$AE=35 @$

Soal No. 4 (#OSN-K 2022)

Banyaknya pasangan bilangan bulat @$(𝑥,𝑦)@$ sehingga @$|𝑥| + |𝑦| + |𝑥+𝑦| = 24@$ adalah...

Pembahasan:

Berdasarkan sifat ketaksamaan nilai mutlak didapat:

|𝑥| + |𝑦| ≥ |𝑥+𝑦|

i. untuk |𝑥|+|𝑦| = |𝑥+𝑦|

|𝑥| + |𝑦| + |𝑥+𝑦| = 24

2|𝑥+𝑦| = 24

|𝑥+𝑦| = 12

𝑥 + 𝑦 = ±12

Sehingga didapat:

(𝑥,𝑦)=(0,12), (0,−12), (12,0), (−12,0) → ada 4

(1,11), (−1,−11), (11,1), (−11,−1) → ada 4

(2,10),…→ ada 4

(3,9),…→ ada 4

(4,8),…→ ada 4

(5,7),…→ ada 4

6,6),(−6,−6)…→ ada 2

Total ada sebanyak 6×4+2=26.

ii. Untuk |𝑥| + |𝑦| > |𝑥+𝑦|

Kemungkinan yang memenuhi |𝑥| + |𝑦| = 13 dan |𝑥+𝑦| = 11

(𝑥,𝑦) = (12,−1), (−1,12), (−12,1), (1,−12) → ada 4

Dengan cara yang sama didapat kemungkinan lainnya adalah:

|𝑥|+|𝑦|	|𝑥+𝑦|	Banyaknya
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0	4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2
		46

Jadi banyaknya pasangan (𝑥,𝑦) yang memenuhi ada sebanyak 26 + 46 = 72

Soal No. 5 (#OSN-K 2022)

Jika sisa pembagian @$x^{2021}+x^{1011}+x^{506}+x^{253}+x^{127}@$ oleh @$x^{2}-1@$ adalah @$Ax + B@$, maka tentukan nilai dari @$4A + 5B@$!

Pembahasan:

Pembagi: @$x^{2}-1 \Rightarrow x^{2}=1@$

Sehingga:

@$P(x)=x^{2021}+x^{1011}+x^{506}+x^{253}+x^{127}@$

@$\hspace{1.2cm}= (x^2)^{1010}.x+(x^2)^{505}.x+(x^2)^{253}+(x^2)^{126}.x+(x^2)^{63}.x@$

Berdasarkan teorema sisa:

@$S(x^2)= (1)^{1010}.x+(1)^{505}.x+(1)^{253}+(1)^{126}.x+(1)^{63}.x@$

@$\hspace{1.2cm}= x + x + 1 + x + x@$

@$\hspace{1.2cm}= 4x + 1 = Ax + B@$

akibatnya: @$A = 4@$ dan @$B = 1@$

Jadi @$4A + 5B = 4(4) + 5(1) =21@$

Soal No. 6 (#OSN-K 2022)

Papan catur berukuran 3×22 akan ditutupi oleh 22 buah L-tromino seperti pada gambar di bawah ini. Banyak cara penyususnan sehingga tidak ada L-tromino yang saling tumpang tindih adalah ...

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut!

Karena kita dapat mengisi kotak 2×3 dengan menggunakan 2 buah L-tromino, sehingga terdapat 2 cara untuk mengisi petak 2×3.

Banyaknya petak 2×3 dalam papan catur berukuran 3×22 adalah sebanyak @$\frac{22}{2}=11@$.

Maka banyaknya cara penutupan papan catur tersebut sebanyak @$22^{11}=2048@$

Soal No. 7 (#OSN-K 2022)

Diberikan segitiga ABC seperti pada gambar, dengan AB = 2BC dan BD = CD. Jika luas segitiga DEC adalah 10 cm, maka luas segitiga AFE adalah ….

Pembahasan:

Misal panjang @$BD = CD = x@$, maka @$AB = 2BC = 4x@$ maka

@$AC=\sqrt{(4x)^{2}+(2x)^{2}}@$

@$\hspace{0.9cm}= \sqrt{20x^{2}}@$

@$\hspace{0.9cm}= 2x\sqrt{5} @$

Segitiga DEC sebangun dengan ABC, maka:

@$\frac{EC}{BC}=\frac{DC}{AC}@$

@$EC=\frac{DC}{AC}.BC@$

@$\hspace{0.9cm}=\frac{x}{2x\sqrt{5}}.2x@$

@$\hspace{0.9cm}=\frac{x}{\sqrt{5}} @$

@$\hspace{0.9cm}=\frac{x\sqrt{5}}{5}  @$

Dan,

@$AE=AC-CE@$

@$\hspace{0.9cm}=2x\sqrt{5}-\frac{x\sqrt{5}}{5}@$

@$\hspace{0.9cm}=\frac{9x\sqrt{5}}{5} @$

Sehingga AE = 9EC.

Segitiga AFE sebangun dengan segitiga DEC, sehingga

@$\frac{[AFE]}{[DEC]}=\frac{AE^2}{DC^2}={\left (\frac{AE}{DC}\right )}^2@$

@$\frac{[AFE]}{10}={\left ( \frac{\frac{9x\sqrt{5}}{5}}{x}\right )}^2@$

@$[AFE]={\left (\frac{9\sqrt{5}}{5}\right )}^2.10@$

@$\hspace{1.4cm}={\left (\frac{81}{5}\right )}.10@$

@$\hspace{1.4cm}=162@$

Soal No. 8 (#OSN-K 2022)

 Untuk setiap bilangan asli @$n@$, misalkan @$S(n)@$ adalah jumlah dari semua digit @$n@$. diberikan barisan @$(𝑎_𝑛), 𝑎_1=5, 𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1@$ untuk @$n\geq 2@$. Tentukan sisa pembagian @$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}@$ dengan 21.

Pembahasan:

Karena @$𝑎_1=5@$ dan @$𝑎_𝑛=(𝑆(𝑎_{𝑛−1}))^2−1@$, maka 

@$𝑎_2=(𝑆(𝑎_1))^2−1=5^2−1=24 @$

@$𝑎_3=(𝑆(𝑎_2))^2−1=6^2−1=35 @$

@$𝑎_4=(𝑆(𝑎_3))^2−1=8^2−1=63 @$

@$𝑎_5=(𝑆(𝑎_4))^2−1=9^2−1=80 @$

@$𝑎_6=(𝑆(𝑎_5))^2−1=8^2−1=63 @$

⋮

Seterusnya akan berulang antara 63 (untuk n genap) dan 80 (untuk n ganjil), sehingga didapat

@$𝑎_{2𝑘}=63@$ dan @$𝑎_{2𝑘+1}=80@$,untuk @$n\geq 2@$

Juga didapat:

@$𝑎_{2𝑘}+𝑎_{2𝑘+1}=63+80=143@$

Akibatnya:

@$𝑎_1+𝑎_2+𝑎_3+⋯+𝑎_{2022}=5+24+35+1009×143+63@$

@$\hspace{5.4cm}=64+1009×143+63@$

@$\hspace{5.4cm}=1+1×(−4)+0 (𝑚𝑜𝑑 21)@$

@$\hspace{5.4cm}=−3 (𝑚𝑜𝑑 21)@$

@$\hspace{5.4cm}=18 (𝑚𝑜𝑑 21)@$

Jadi, sisa pembagiannya adalah 18.

Soal No. 9 (#OSN-K 2022)

Diberikan bilangan real @$x, y@$ dengan @$𝑥>𝑦>0@$ sehingga

@$x+100\leqslant \sqrt{x^{2}-y^{2}+200(x+y)}@$

Nilai @$y@$ adalah ….

Pembahasan:

@$x+100\leqslant \sqrt{x^{2}-y^{2}+200(x+y)}@$

@$x^{2} +200x+10000\leqslant x^{2}-y^{2}+200(x+y)@$

@$y^{2} -200y+10000\leqslant 0@$

@$(y-100) ^{2}\leqslant 0@$

Karena kuadrat dari bilangan real minimal 0, maka

@$(y-100) ^{2}= 0@$

Sehingga: @$y=100@$

Soal No. 10 (#OSN-K 2022)

Tentukan nilai @$x@$ sehingga @$𝑥^2+20𝑥@$ adalah pangkat tiga dari suatu bilangan prima.

Pembahasan:

@$𝑥^2+20𝑥=𝑥(𝑥+20)=𝑝^3@$

Sehingga pemfaktoran yang mungkin adalah:

@$(𝑥,𝑥+20)=(1,𝑝^3),(𝑝,𝑝^2),(𝑝^2,𝑝),(𝑝^3,1)@$

Karena @$𝑥+20>𝑥@$ dan @$𝑥=1@$ tidak memenuhi, maka @$(𝑥,𝑥+20)=(𝑝,𝑝^2)@$

Akibatnya: @$𝑥=𝑝@$ dan @$𝑝+20=𝑝^2@$

Sehingga:

@$𝑝^2−𝑝−20=0@$

@$(𝑝−5)(𝑝+4)=0@$

@$𝑝=5@$ atau @$𝑝=−4@$

Karena @$p@$ prima, maka nilai @$p@$ yang memenuhi adalah 5.

Karena @$x=p@$, Jadi nilai @$x = 5@$.

Sekian dulu pembahasan soal OSN-K Matematika SMA tahun 2022. Semoga bermanfaat!